【万物皆数】

    每个人都有生日，偶尔会遇到与自己同一天过生日的人，但在生活中，这种缘分似乎并不常有。我们猜猜看，在50个人当中，出现这种缘分的概率有多大，是10%，20%，还是50%？

    有人告诉我，在文章开头插入公式十分倒胃口，所以就不写计算过程了（除了传统的排列组合方法外，美国数学家保罗·哈尔莫斯还给出了一个巧妙的解法），直接给出结果吧。在50个人中有相同生日的概率，高达97%，这个数字，恐怕远远超出了绝大多数人的意料。

    相信我，错的不是计算过程，而是直觉。在这个地方，科学又跟我们的日常经验开了个玩笑。正因为计算结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，该问题被称为“生日悖论”（Birthday Paradox）。它体现的是理性计算与感性认识的矛盾，并不引起逻辑矛盾，所以倒也算不上严格意义上的悖论。“生日悖论”的原始表述是：在23个人当中出现相同生日的概率大于50%。为了让矛盾更突出，我特地把人数换成了50。如果事先不知道答案，光看问题，你猜测的结果肯定远远小于97%吧？说到这里，也许会有人质疑，我们在计算时，假定人们的生日均匀而随机地分布，但生活中却未必如此———别担心，数学家们早就考虑到了这个因素，不平均分布的情形也已解决，而且更进一步的证明是，不平均分布时，概率只会更高。此外，美国计算机科学家高德纳（D. E. Knuth）还计算过这样一个问题：平均在多少人中才能找到一对相同生日？答案是25人。这看起来实在是不可思议吧？

    对于为何出现这种矛盾？其实问题并不复杂。首先，当只有1个人时，出现“相同生日”的概率为0%。如果不考虑闰年的因素，当人数大于365时，出现“相同生日”概率是100%。于是，在1到365这个区间内，我们通常会自然而然地认为，对应的概率是线性地从0％增长到100%，哪怕不线性，也不会陡峭得太离谱，所以对于50人来说，该概率应该在50/365，即13.7%左右。但事实上，这条曲线的增长劲头却是十分可怕：从一开始就直线上升，到50人时，几率已经接近100%，与我们幻想的线性曲线有天壤之别。那么问题就是：为啥我们会误以为它是线性的？别急，我们把问题稍作改动，就能得到启发。新的问题是，在一群人当中，有人与你同一天生日，这个概率有多大？同样地，我们把概率曲线描出来，可以看到，它是十分平缓的：人数为350时，这个几率不过略高于 50%。

    现在，我们大致可以发现前述那种错误的直觉产生的原因了：当我们看到“有人生日相同”时，下意识地用“与我生日相同”去推测，以至于把火箭发射当成了平稳增长，这才造成了“生日悖论”。

    □苏椰（江苏 人工智能专业）